Question

15．已知正實數(shù)x，y，z滿足z=x²-xy+4y²，則當$\frac{z}{xy}$取得最小值時，$\frac{1}{x}-\frac{2}{y}+\frac{3}{z}$的最小值為$-\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 首先求出$\frac{z}{xy}$的代數(shù)式，利用基本不等式求最小值，得到去最小值時的x，y 的關(guān)系，然后求$\frac{1}{x}-\frac{2}{y}+\frac{3}{z}$的最小值．

解答 解：正實數(shù)x，y，z滿足z=x²-xy+4y²，則$\frac{z}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}-1$≥3，（當且僅當x=2y時等號成立），則當$\frac{z}{xy}$取得最小值3時，$\frac{1}{x}-\frac{2}{y}+\frac{3}{z}$=$\frac{1}{2y}-\frac{2}{y}+\frac{3}{6{y}^{2}}$=$\frac{1}{2{y}^{2}}-\frac{3}{2y}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{y}-\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{8}$的最小值為$-\frac{9}{8}$；
故答案為：$-\frac{9}{8}$．

點評 本題考查了基本不等式的運用求代數(shù)式的最值；關(guān)鍵是注意不等式運用的三個條件．