Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，長軸長為4，M為右頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，直線AM、BM與x=4分別交于P、Q兩點(diǎn)，（P、Q不重合）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：

FP

•

FQ

=0．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出2a=4．a(chǎn)=2，e=

c

a

=

1

2

，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，

FP

•

FQ

=0，命題成立．直線AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），k≠0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x-12=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能推導(dǎo)出

FP

•

FQ

=0．

解答： （1）解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，長軸長為4，
∴2a=4．a(chǎn)=2，e=

c

a

=

1

2

，解得c=1，b²=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）證明：當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，則直線AB的方程是x=1，
則A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

），
AM、BM與x=4別交于P、Q兩點(diǎn)，A，M，P三點(diǎn)共線，

AM

，

MP

共線，
∴P（4，3），∴

FP

=(3，-3)，同理：Q（4，3），

FQ

=(3，3)，
∴

FP

•

FQ

=0，命題成立．
若直線AB與x軸不垂直，則設(shè)直線AB的斜率為k，（k≠0）
∴直線AB的方程為y=k（x-1），k≠0，
又設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，消y得（3+4k²）x²-8k²x-12=0，
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=

-9k2

3+4k2

，
又∵A、M、P三點(diǎn)共線，∴y3=

2y1

x1-2

，同理y4=

2y2

x2-2

，
∴

FP

=(3，

2y1

x1-2

)，

FQ

=(3，

2y2

x2-2

)，
∴

FP

•

FQ

=9+

4y1y2

x1x2-2(x1+x2)+4

=0，
綜上所述：

FP

•

FQ

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查向量的數(shù)量積為0的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．