Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．四面體B₁-BCD的體積是2，求異面直線DB₁與CC₁所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：利用平行線法找到異面直線所成的角，∠DB₁B即異面直線DB₁與CC₁所成的角，然后放在三角形中計(jì)算．

解答： 解：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁∥BB₁
所以∠DB₁B為異面直線DB₁與CC₁所成的角（或其補(bǔ)角）                      （3分）
直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中
VB1-BCD=

1

3

S_△BCD•B₁B=

1

3

×

1

2

×4×

3

2

B1B=2得BB₁=2                       （7分）
由點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)得DB=

5

2

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中B₁B⊥BD
Rt△B₁BD中tan∠DB₁B=

BD

B1B

=

5 2

2

=

5

4

所以∠DB₁B=arctan

5

4

（或∠DB₁B=arccos

4

41

41

）
所以異面直線DB₁與BC₁所成的角為arctan

5

4

（或arccos

4

41

41

）             （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成的角的計(jì)算，先作后求是基本方法．