Question

已知函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-ax²，其中a為常數(shù)．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上為單調(diào)區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）a=1時，f（x）=（x-1）e^x-x²，從而f′（x）=x（e^x-2），分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，
（2）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意得到不等式組綜合求出a的范圍即可．

解答： 解：（1）a=1時，f（x）=（x-1）e^x-x²，
∴f′（x）=x（e^x-2），
令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ln2，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）和（ln2，+∞）上遞增，
在（0，ln2）上遞減．
（2）∵f′（x）=x（e^x-2a），
①令f′（x）＞0，
則

x＞0 ex-2a＞0 ln2a＜0

，
解得：0＜a＜

1

2

，
②令f′（x）＜0，
則

x＞0 ex-2a＜0

，
解得：0＜x＜ln2a，不合題意，
經(jīng)驗a=0，a=

1

2

時符合題意，
綜合①②得：0≤a≤

1

2

．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的問題，對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道綜合題．