Question

已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+

a

x

-x，g（x）=alnx-f（x）+（a-1）x（其中a≥0）
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=x（1-x+xg（x）），當(dāng)a=0時(shí)，證明：對(duì)?x∈（0，+∞），恒有h（x）＜e^x-1（1+e^-2）成立．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，導(dǎo)數(shù)f′（x），分a=0、0＜a＜1、a=1、a＞1四種情況進(jìn)行討論，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）表示出g（x），g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，等價(jià)于g′（x）=

ax2-x+a

x2

≥0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，分離出參數(shù)a后化為函數(shù)的最值即可，利用基本不等式可求函數(shù)的最值；
（3）a=0時(shí)，要證：h（x）＜e^x-1（1+e^-2）（x＞0）成立，即證

x(1-x-xlnx)

ex-1

＜1+e-2成立，即證

ex(1-x-xlnx)

ex

＜1+e-2成立，可判斷x≥1時(shí)，

ex(1-x-xlnx)

ex

≤0＜1+e^-2成立．只需證明0＜x＜1時(shí)，

ex(1-x-xlnx)

ex

＜1+e^-2成立，設(shè)m（x）=

x

ex

（0＜x＜1），利用導(dǎo)數(shù)可證0＜m（x）＜

1

e

，從而

ex

ex

＜1，于是只證1-x-xlnx＜1+e^-2，設(shè)φ（x）=1-x-xlnx（0＜x＜1），利用導(dǎo)數(shù)可證明；

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域是（0，+∞），
f′（x）=

a+1

x

-

a

x2

-1=-

x2-(a+1)x+a

x2

=-

(x-1)(x-a)

x2

（a≥0，x＞0），
分類討論：①當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在（a，1）上遞增，在（0，a），（1，+∞）上遞減；
③當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞減；
④當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1），（a，+∞）上遞減，在（1，a）上遞增．
（2）g（x）=-lnx-

a

x

+ax（x＞0），
∴g′（x）=-

1

x

+

a

x2

+a=

ax2-x+a

x2

≥0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，即ax²-x+a≥0（a＞0，x＞0）恒成立，
∴a≥

x

x2+1

（x＞0），設(shè)φ（x）=

x

x2+1

（x＞0），
則a≥φ_max（x），而φ（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≤

1

2

（x=1時(shí)取等號(hào)），
∴a≥

1

2

，即a的取值范圍是[

1

2

，+∞）；
（3）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-lnx，∴h（x）=x（1-x-xlnx），
要證：h（x）＜e^x-1（1+e^-2）（x＞0）成立，即證

x(1-x-xlnx)

ex-1

＜1+e-2成立，即證

ex(1-x-xlnx)

ex

＜1+e-2成立．
∵當(dāng)x≥1時(shí)，1-x-xlnx≤0，

ex

ex

＞0，
∴

ex(1-x-xlnx)

ex

≤0＜1+e^-2成立．
只需證當(dāng)0＜x＜1時(shí)，

ex(1-x-xlnx)

ex

＜1+e^-2成立，
設(shè)m（x）=

x

ex

（0＜x＜1），則m′（x）=

ex-xex

e2x

=

1-x

ex

＞0，（0＜x＜1），
∴m（x）在（0，1）上遞增，∴0=m（0）＜m（x）＜m（1）=

1

e

，
∴0＜

ex

ex

＜1成立，又（1-x）-xlnx＞0，
∴

ex(1-x-xlnx)

ex

＜1-x-xlnx，下面不妨證1-x-xlnx＜1+e^-2，
設(shè)φ（x）=1-x-xlnx（0＜x＜1），
∵φ′（x）=-1-lnx-1=-2-lnx（0＜x＜1），
易知φ（x）在（0，e^-2）上遞增；在（e^-2，1）上遞減，
φ（x）≤φ（e^-2）=1-e^-2-e^-2lne^-2=1+e^-2，
綜上所述：?x∈（0，+∞），恒有h（x）＜e^x-1（1+e^-2）成立．

點(diǎn)評(píng)：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及不等式的證明等知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力及轉(zhuǎn)化能力，該題綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)學(xué)生能力要求較高．