Question

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，F(xiàn)B=FC，∠BFC=90°，AE=

3

．
（1）求證：AB⊥平面BCF；
（2）求直線AE與平面BDE所成角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先證明出四邊形EMBF是平行四邊形，推斷出EM∥FB，EM=FB．進(jìn)而在Rt△BFC中求得EM，在△AEM中，根據(jù)邊長推斷出AM²+EM²=3=AE²，進(jìn)而證明出AM⊥EM．然后證明出四邊形ABCD是正方形，進(jìn)而推斷出AB⊥BC．最后通過線面垂直的判定定理證明出AB⊥平面BCF．
（2）先證明出∠AEO是直線AE與平面BDE所成的角，進(jìn)而在Rt△AOE中，求得tan∠AEO．

解答： （1）證明：取AB的中點(diǎn)M，連接EM，則AM=MB=1，
∵EF∥平面ABCD，EF?平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴EF∥AB，即EF∥MB．
∵EF=MB=1
∴四邊形EMBF是平行四邊形．
∴EM∥FB，EM=FB．
在Rt△BFC中，F(xiàn)B²+FC²=BC²=4，又FB=FC，得FB=

2

．
∴EM=

2

．
在△AEM中，AE=

3

，AM=1，EM=

2

，
∴AM²+EM²=3=AE²，
∴AM⊥EM．
∴AM⊥FB，即AB⊥FB．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB⊥BC．
∵FB∩BC=B，F(xiàn)B?平面BCF，BC?平面BCF，
∴AB⊥平面BCF．
（2）連接AC，AC與BD相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
取BC的中點(diǎn)H，連接OH，EO，F(xiàn)H，
則OH∥AB，OH=

1

2

AB=1．
由（1）知EF∥AB，且EF=

1

2

AB，
∴EF∥OH，且EF=OH．
∴四邊形EOHF是平行四邊形．
∴E0∥FH，且EO=FH=1．
由（1）知AB⊥平面BCF，又FH?平面BCF，
∴FH⊥AB，
∵FH⊥BC，AB∩BC=B，F(xiàn)H?平面ABCD，BC平面ABCD，
∴FH⊥平面ABCD．
∴E0⊥平面ABCD．
∵AO?平面ABCD，
∴EO⊥AO．
∵AO⊥BD，EO∩BD=O，EO?平面EBD，BD平面EBD，
∴AO⊥平面EBD．
∴∠AEO是直線AE與平面BDE所成的角．
在Rt△AOE中，tan∠AEO=

AO

EO

=

2

．
∴直線AE與平面BDE所成角的正切值為

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的求法．解題的關(guān)鍵是找到二面角的平面角．