Question

已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（-1，0），且與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，求△F₂PQ的內(nèi)切圓面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2，求出幾何量，即可得到橢圓C的方程；
（2）由（1）知F₁（-1，0），則△F₂PQ的周長(zhǎng)為4a=8，所以S△F2PQ=

1

2

•4a•r（r為三角形內(nèi)切圓半徑），可得當(dāng)△F₂PQ的面積最大時(shí)，其內(nèi)切圓面積最大．

解答： 解：（1）∵橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2，
∴a=2，c=1，
∴b=

a2-c2

=

3

，
∴橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1-----------------------（4分）
（2）由（1）知F₁（-1，0），過(guò)點(diǎn)F₁（-1，0）的直線(xiàn)與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，則△F₂PQ的周長(zhǎng)為4a=8，
∴S△F2PQ=

1

2

•4a•r（r為三角形內(nèi)切圓半徑），
∴當(dāng)△F₂PQ的面積最大時(shí)，其內(nèi)切圓面積最大．-----------------------（5分）
設(shè)直線(xiàn)l方程為：x=ky-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

x=ky-1 x2 4 + y2 3 =1

⇒(4+3k2)y2-6ky-9=0⇒

y1+y2= 6k 3k2+4 y1•y2=- 9 3k2+4

-----------------（7分）
∴S△F2PQ=

1

2

•|F1F2|•|y1-y2|=

12 k2+1

3k2+4

-------------------（9分）
令

k2+1

=t，則t≥1，所以S△F2PQ=

12

3t+ 1 t

，而3t+

1

t

在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴S△F2PQ=

12

3t+ 1 t

≤3，當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)k=0時(shí)，△F₂PQ的面積最大值為3，
結(jié)合S△F2PQ=

1

2

•4a•r=3，得r的最大值為

3

4

，
∴S=πr2=

9

16

π-----------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．