Question

【題目】對(duì)于正整數(shù)、，定義，其中、為非負(fù)整數(shù)，，且．求最大的正整數(shù)，使得存在正整數(shù)，對(duì)于任意的正整數(shù)，都有．證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

將滿足條件“存在正整數(shù)，，使得只要正整數(shù)，就有”的最大正整數(shù)記為．顯然，本題所求的最大正整數(shù)即為．

（1）先證．

事實(shí)上，，所以．

又當(dāng)時(shí)，，而，所以．

因此，．

（2）設(shè)已求出，且為偶數(shù)．顯然，易知滿足的必要條件是：存在，使得只要，就有．

令．由可得．

若取，由可知．由此可得，．

于是，．

因此，．

故有．

由于為偶數(shù)，從而．

因?yàn)?/span>，所以，．

因此總有．

另一方面，若取，由于，

對(duì)每個(gè)，令，

那么，或者，；或者，．

兩種情況下均有．因此，．

此外，因?yàn)?/span>為偶數(shù)，若，由可得；若，

由也可得．因此也是偶數(shù)．

這樣，已完成了歸納證明：．

由逐次推出，，，，．

于是，所求的最大正整數(shù)．