【題目】如圖，已知兩個(gè)半徑不相等的與相交于M、N兩點(diǎn)，且、分別與內(nèi)切于S、T兩點(diǎn)。求證：OM⊥MN的充分必要條件是S、N、T三點(diǎn)共線。

【答案】見解析

【解析】

如圖，設(shè)的半徑分別為.由條件知三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，且OS=OT=r.連結(jié).

充分性.設(shè)S、N、T三點(diǎn)共線，則∠S=∠T.又與均為等腰三角形.

故∠S=∠,∠T=∠.

于是，∠S≈∠，∠T=∠.

從而，.

故四邊形為平行四邊形.

因此，，

.

故.

從而，.由此得.

又由于，故.

必要性.若，，有.從而..

設(shè)OM=a，由，，知與的周長(zhǎng)都等于，記.

由三角形面積的海倫公式，有.

化簡(jiǎn)得.

又已知，有.

故，.

所以，為平行四邊形.從而，.

又與均為等腰三角形，，，即，.于是，.

故 ,.

所以,S、N、T三點(diǎn)共線.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得利潤(rùn)分別為和（萬(wàn)元），它們與投入資金（萬(wàn)元）的關(guān)系有如下公式：，，今將200萬(wàn)元資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，并要求對(duì)甲、乙兩種產(chǎn)品的投入資金都不低于25萬(wàn)元.

（Ⅰ）設(shè)對(duì)乙種產(chǎn)品投入資金（萬(wàn)元），求總利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；

（Ⅱ）如何分配投入資金，才能使總利潤(rùn)最大，并求出最大總利潤(rùn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于正整數(shù)、，定義，其中、為非負(fù)整數(shù)，，且．求最大的正整數(shù)，使得存在正整數(shù)，對(duì)于任意的正整數(shù)，都有．證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，SA=SB= SC=2，AB=2，設(shè)S、A、B、C四點(diǎn)均在以O為球心的某個(gè)球面上。則點(diǎn)O到平面ABC的距離為________________。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)的圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值和最小值分別為和.

（1）求函數(shù)的解析式：

（2）將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖像沿x軸正方向平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)的解析式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)為拋物線上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線交拋物線于另一點(diǎn)，連結(jié)，，并延長(zhǎng)，分別交拋物線與點(diǎn)，.

（1）當(dāng)軸時(shí)，求直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，試探索是否為定值？若是，求出此定值；若不是，試說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，，對(duì)任意，有成立.

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求正整數(shù)，使得對(duì)任意，恒成立；

（3）設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)任意均有恒成立，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，某小區(qū)為美化環(huán)境，準(zhǔn)備在小區(qū)內(nèi)的草坪的一側(cè)修建一條直路OC，另一側(cè)修建一條休閑大道.休閑大道的前一段OD是函數(shù)的圖象的一部分，后一段DBC是函數(shù)的圖象，圖象的最高點(diǎn)為，且，垂足為點(diǎn)F.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若在草坪內(nèi)修建如圖所示的矩形兒童樂園PMFE，點(diǎn)P在曲線OD上，其橫坐標(biāo)為，點(diǎn)E在OC上，求兒童樂園的面積.

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