Question

【題目】已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若，求函數(shù)的圖像在點處的切線方程；

（2）在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）首先求導，求出切點坐標和斜率，再利用點斜式即可求出切線方程.

（2）首先根據(jù)題意得到恒成立，令，得到，即，再分類討論的范圍證明在上單調(diào)遞增即可.

（1）當時，，

所以，切點為，

所以切線方程為，即

（2）

所以

因為在上單調(diào)遞增，則恒成立，

令，則，得

下面證當時，在上單調(diào)遞增.

構(gòu)造函數(shù)

當時，時，，時，

得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

，即恒成立，

整理得：恒成立，

即：恒成立，所以在上單調(diào)遞增.

當時，顯然在上單調(diào)遞增.

當時，時，，時，

得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

，即：恒成立，

整理得：恒成立，

從而恒成立，所以在上單調(diào)遞增.

綜上，實數(shù)的取值范圍為