Question

15．函數(shù)y=f（x）滿足對任意x₁，x₂∈[0，2]（x₁≠x₂），$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0，且函數(shù)f（x+2）是偶函數(shù)，則下列結論成立的是（　�。�

• A． f（1）＜f（$\frac{5}{2}$）＜f（$\frac{7}{2}$）
• B． f（$\frac{7}{2}$）＜f（1）＜f（$\frac{5}{2}$）
• C． f（$\frac{7}{2}$）＜f（$\frac{5}{2}$）＜f（1）
• D． f（$\frac{5}{2}$）＜f（1）＜f（$\frac{7}{2}$）

Answer 1

分析 由條件$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}＞0$便可得到f（x）在[0，2]上單調遞增，而由f（x+2）為偶函數(shù)便有f（x+2）=f（-x+2），從而可得到：$f（\frac{5}{2}）=f（\frac{3}{2}），f（\frac{7}{2}）=f（\frac{1}{2}）$，這樣根據(jù)f（x）在[0，2]上單調遞增便可比較$f（1），f（\frac{3}{2}），f（\frac{1}{2}）$的大小，這樣便可得到$f（1），f（\frac{5}{2}），f（\frac{7}{2}）$的大小．

解答 解：根據(jù)條件知，f（x）在[0，2]上單調遞增；
f（x+2）為偶函數(shù)；
∴f（x+2）=f（-x+2）；
∴$f（\frac{5}{2}）=f（\frac{1}{2}+2）=f（-\frac{1}{2}+2）=f（\frac{3}{2}）$；
$f（\frac{7}{2}）=f（\frac{3}{2}+2）=f（-\frac{3}{2}+2）=f（\frac{1}{2}）$；
∵f（x）在[0，2]上單調遞增；
∴$f（\frac{1}{2}）＜f（1）＜f（\frac{3}{2}）$；
∴$f（\frac{7}{2}）＜f（1）＜f（\frac{5}{2}）$．
故選B．

點評 考查偶函數(shù)的定義，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義判斷一個函數(shù)為增函數(shù)的方法，清楚偶函數(shù)的定義為自變量x的函數(shù)值等于-x的函數(shù)值，而f（x+2）的自變量為x．