Question

如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)V是圓O所在平面外一點(diǎn)，是AC的中點(diǎn)，已知，．

（1）求證：OD//平面VBC；

（2）求證：AC⊥平面VOD；

（3）求棱錐的體積．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3） 故棱錐C-ABV的體積為．

【解析】

試題分析：（1）證明： ∵ O、D分別是AB和AC的中點(diǎn)

∴OD//BC 1分

又OD面VBC，BC面VBC，

∴OD//平面VBC． 3分

（2）證明： ∵VA=VB，O為AB中點(diǎn)

∴VO⊥AB， 4分

連接OC，在△VOA和△VOC中，OA＝OC，VO＝VO，VA＝VC，

∴△VOA≌△VOC， ∴∠VOA＝?VOC＝90?

∴VO⊥OC， 6分

∵AB∩OC＝O，AB平面ABC，OC平面ABC，

∴VO⊥平面ABC 7分

∵AC平面ABC，∴AC⊥VO， 8分

又∵VA＝VC，D是AC的中點(diǎn)， ∴AC⊥VD 9分

∵VO?平面VOD，VD?平面VOD，VO∩VD＝V，

∴ AC平面DOV 10分

（3）解：由（2）知VO是棱錐V-ABC的高

且 11分

又∵點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，∴CO⊥AB，且CO＝1，AB＝2，

∴三角形的面積 12分

∴棱錐V-ABC的體積為，

故棱錐C-ABV的體積為 ． 14分

考點(diǎn)：考查了直線與平面平行，直線與平面垂直的判定，錐體的體積．