Question

已知函數(shù)f（x）=kx³-3x²+3
（1）當(dāng)k=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x-1所圍封閉圖形的面積；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)f（x）=-3x²+3，由-3x²+3=x-1，得x=-

4

3

或x=1，從而求出封閉圖形的面積；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：f′（x）=3kx²-6x=3kx（x-

2

k

），分別解不等式求出單調(diào)區(qū)間即可．

解答： 解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，
函數(shù)f（x）=-3x²+3，
由-3x²+3=x-1，
得x=-

4

3

或x=1，
所以所求封閉圖形的面積
s=

∫

1 - 4 3

(-3x2+3-x+1)dx=

∫

1 - 4 3

(-3x2-x+4)dx
=（-x³-

1

2

x²+4x）

|

1 - 4 3

=

343

54

；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，
f′（x）=3kx²-6x=3kx（x-

2

k

），
 由f′（x）＞0，得x＜0或x＞

2

k

，
由f′（x）＜0得0＜x＜

2

k

，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，0)與(

2

k

，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，

2

k

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．