Question

如圖所示的幾何體，是將高為2、底面半徑為1的圓柱沿過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的平面切開(kāi)后，將其中一半沿切面向右水平平移后形成的封閉體．O₁，O₂，O₂′分別為AB，BC，DE的中點(diǎn)，F(xiàn)為弧AB的中點(diǎn)，G為弧BC的中點(diǎn)．則異面直線AF與GO₂′所成的角的余弦值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專(zhuān)題：空間角

分析：連接AF、FB、BG、GC，由圓的性質(zhì)可知，G、B、F三點(diǎn)共線，且△AFB≌△CGB，可得AF∥CG，則∠CGO₂′即為所求的角或其補(bǔ)角，然后利用余弦定理在三角形CGO_2′求解即可．

解答： 解：如圖，連接AF、FB、BG、GC，∵F為半圓弧AFB的中點(diǎn)，G為半圓弧BGC的中點(diǎn)，
由圓的性質(zhì)可知，G、B、F三點(diǎn)共線，且AF=CG，F(xiàn)B=GB，AB=BC，
∴△AFB≌△CGB，∴AF∥CG，則∠CGO₂′即為所求的角或其補(bǔ)角，
又∵半徑為1，高為2，且△AFB，△CGB都是等腰Rt△，
∴CG=

2

，CO₂′=GO2′=

1+22

=

5

，
∴在△CGO₂′中，cos∠CGO₂′=

5 2+ 2 2- 5 2

2 2 • 5

=

10

10

，
即異面直線AF與GO₂′所成的角余弦值

10

10

．
故答案為：

10

10

．

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)題有些打破傳統(tǒng)，是利用圓的性質(zhì)來(lái)完成異面直線所成的角向相交直線所成角的轉(zhuǎn)化，然后在三角形中利用余弦定理求角．