Question

4．已知函數f（x）=x³-3ax²+3bx，其中b＞0．
（1）若函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數，求證：a≤$\sqrt$；
（2）若函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=4x-1，試求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數的導數，問題轉化為3（x-a）²+3b-3a²≥0在（0，+∞）恒成立，解出即可；
（2）先求出f（1）=3，斜率k=f′（1）=4，聯(lián)立方程組解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-6ax+3b，
若函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數，
則f′（x）=3（x-a）²+3b-3a²≥0在（0，+∞）恒成立，
∴3b-3a²≥0，解得：a≤$\sqrt$；
（2）函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=4x-1即y-3=4（x-1），
∴f（1）=3，斜率k=4，
f′（x）=3x²-6ax+3b，
f′（1）=3-6a+3b=4①，
f（1）=1-3a+3b=3②，
由①②得：a=$\frac{1}{6}$，b=$\frac{5}{6}$．

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查導數的應用，是一道中檔題．