給出下列結(jié)論：
①與圓x2+y2=1及圓x2+y2-8x+12=0都外切的圓的圓心在一個(gè)橢圓上．
②若直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4右支有兩個(gè)公共點(diǎn)，則k∈(1，
5
2
)．
③經(jīng)過橢圓
x2
2
+y2=1的右焦點(diǎn)F作傾斜角為600的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且|AF|＞|BF|，則
AF
=
9+3
2
7
FB
．
④拋物線y2=2x上的點(diǎn)P到直線y=x+4的距離的最小值為
7
2
4
．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是
 
．
考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用
專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：①設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，然后根據(jù)動(dòng)圓與圓x2+y2=1及圓x2+y2-8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再兩式相減消去參數(shù)r，則滿足雙曲線的定義，命題①錯(cuò)誤；
②聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后由兩根均大于0列式求解k的取值范圍，則結(jié)論②得到判斷；
③寫出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后求出A，B的橫坐標(biāo)，進(jìn)一步求出向量
AF
，
FB
的橫坐標(biāo)，不滿足
AF
=
9+3
2
7
FB
，否定結(jié)論；
④求出與直線y=x+4平行且與拋物線y2=2x相切的直線方程，由兩條平行線間的距離公式求出拋物線y2=2x上的點(diǎn)P到直線y=x+4的距離的最小值，結(jié)論得到判斷．
解答： 解：對(duì)于①，設(shè)動(dòng)圓的圓心為P，半徑為r，而圓x2+y2=1的圓心為O（0，0），半徑為1；
圓x2+y2-8x+12=0的圓心為F（4，0），半徑為2．
依題意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，則|PF|-|PO|=（2+r）-（1+r）=1＜|FO|，∴點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支．命題①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，設(shè)直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4右支有兩個(gè)公共點(diǎn)C（x1，y1），D（x2，y2）
直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4兩式聯(lián)立得：（1-k2）x2+2kx-5=0．
∵有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，且在右支上，
故
1-k2≠0
△=4k2+20(1-k2)＞0
x1+x2=
2k
k2-1
＞0
x1x2=
5
k2-1
＞0
，解得1＜k＜
5
2
．命題②正確；
對(duì)于③，∵橢圓
x2
2
+y2=1的右焦點(diǎn)F為（1，0），
∴經(jīng)過橢圓
x2
2
+y2=1的右焦點(diǎn)F且傾斜角為600的直線l的方程為y=
3
（x-1），
聯(lián)立
y=
3
(x-1)
x2
2
+y2=1
，得7x2-12x+4=0．
設(shè)A（x3，y3），B（x4，y4），
則x3=
6-2
2
7
，x4=
6+2
2
7
．
∵1-x3=1-
6-2
2
7
=
1+2
2
7
，x4-1=
6+2
2
7
-1=
2
2
-1
7
，
1+2
2
7
≠
9+3
2
7
×
2
2
-1
7
．命題③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，設(shè)與直線y=x+4平行的直線方程為y=x+m，
聯(lián)立
y=x+m
y2=2x
，得y2-2y+2m=0．
由△=（-2）2-8m=0，得m=
1
2
．
∴與直線y=x+4平行且與拋物線y2=2x相切的直線方程為x-y+
1
2
=0．
由兩平行線間的距離公式得：拋物線y2=2x上的點(diǎn)P到直線y=x+4的距離的最小值為
|4-
1
2
|
2
=
7
2
4
．
∴命題④正確．
∴正確結(jié)論的序號(hào)是②④．
故答案為：②④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=2sin（x+
θ
2
）cos（x+
θ
2
）+2
3
cos2（x+
θ
2
）-
3
（x∈R，0≤θ≤π）是偶函數(shù)．
（Ⅰ）求θ和f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，a=5，b=3，f（C）=-1，求c．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其短軸長(zhǎng)為2，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=
∫
3
0
1dx，直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點(diǎn)Q、P，與橢圓分別交于點(diǎn)M，N各點(diǎn)均不重合且滿足
PM
=λ1
MQ
，
PN
=λ2
NQ
．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求證：λ1+λ2=-3是直線l過定點(diǎn)（1，0）的充分條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知變量x，y滿足約束條件
x-y+1≤0
2x+y-5≤0
x≥0
，則z=x+y的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若直線l1：x+ay-1=0與l2：4x-2y+3=0垂直，則二項(xiàng)式(ax2-
1
x
)2展開式中的x的系數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=x2+2x-3的值域?yàn)锳，函數(shù)y=-x2-3x+7的值域?yàn)锽，則A∩B=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=|cosx|+cosx的值域?yàn)閇0，2]；
②奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)；
③函數(shù)y=cos(2x+
π
3
)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
π
12
，0)對(duì)稱；
④已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f（x+2）=f（x），且在[-3，-2]上為減函數(shù)，若α、β是銳角三角形的內(nèi)角，則有f（sinα）＞f（cosβ）．
其中正確的選項(xiàng)有
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，3}，N={3，4，5}，則（∁UM）∩N=（　　）
A、{3}
B、{4，5}
C、{3，4，5}
D、（4，5）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=f（x）滿足f（0）=f（1）=1，且f(
1
2
)=
3
4
，求：
（Ⅰ）f（x）的解析式；
（Ⅱ）f（x）在（0，1）上的值域．

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