Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱CC₁的中點(diǎn)，設(shè)CP=m（0＜m＜1）．
（Ⅰ）試確定m的值，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值3

2

；
（Ⅱ）在線段A₁C₁上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）求三棱錐D-APD₁的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)m=

1

3

時(shí)，直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3

2

．
（Ⅱ）若在A₁C₁上存在這樣的點(diǎn)Q，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，則Q（x，1-x，1），

D1Q

=（x，1-x，0），由題意知-x+（1-x）=0，由此能求出Q為A₁C₁的中點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)的要求．
（Ⅲ）無論m取何值時(shí)，P到平面ADD₁的距離總是1，由VD-APD1=VP-ADD1，利用等積法能求出三棱錐D-APD₁的體積．

解答： 解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
D（0，0，0），B₁（1，1，1），D₁（0，0，1），P（0，1，m），
∴

BD

=（-1，-1，0），

BB1

=（0，0，1），

AP

=(-1，1，m)，

AC

=（-1，1，0），
又由

AC

•

BD

=0，

AC

•

BB1

=0，得

AC

為平面BDD₁B₁的一個(gè)法向量，
設(shè)AP與平面BDD₁B₁所成的角為θ，
則sinθ=cos（

x

2

-θ）=

| AP • AC |

| AP |•| AC |

=

2

2 • 2+m2

，
依題意有

2

2 • 2+m2

=

3 2

1+(3 2 )2

，解得m=

1

3

，
∴當(dāng)m=

1

3

時(shí)，直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3

2

．
（Ⅱ）若在A₁C₁上存在這樣的點(diǎn)Q，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，
則Q（x，1-x，1），

D1Q

=（x，1-x，0），
依題意，對任意的m，要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，
等價(jià)于

D1Q

⊥

AP

，∴

AP

•

D1Q

=0，
∴-x+（1-x）=0，∴x=

1

2

，
即Q為A₁C₁的中點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)的要求．
（Ⅲ）∵無論m取何值時(shí)，P到平面ADD₁的距離總是1，
∴VD-APD1=VP-ADD1=

1

3

×S△ADD1×1=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

．

點(diǎn)評：本題考查滿足條件的線段長的確定，考查滿足條件的點(diǎn)的位置的確定，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．