已知H是△ABC的垂心，BE是AC邊上的高，B（-2，0），C（6，0），
BE
=3
HE
．
（1）求點(diǎn)H的軌跡方程；
（2）若斜率為1的直線(xiàn)l與點(diǎn)H軌跡交于M、N兩點(diǎn)，求
OM
•
ON
的最小值．
考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題,軌跡方程
專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）設(shè)H（x，y），E（m，n），
BE
=（m+2，n），
HE
=（m-x，n-y），由于
BE
=3
HE
，可得
m+2=3(m-x)
n=3(n-y)
，E點(diǎn)的坐標(biāo)．又
BH
=（x+2，y），
CE
=(
3
2
x-5，
3
2
y)，BE⊥AC，可得
BH
•
CE
=0，化為3x2+3y2-4x-20=0．由于
BE
=3
HE
，H是△ABC的垂心，可知：y≠0．
（2）設(shè)l的方程為：y=x+b，M（x1，y1），N（x2，y2），可得
OM
•
ON
=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+b）（x2+b）=2x1x2+b(x1+x2)+b2，與H的軌跡方程聯(lián)立可得6x2+2（3b-2）x+3b2-20=0，利用△＞0，可得b的取值范圍，再利用根月系數(shù)的關(guān)系代入
OM
•
ON
=b2+
2
3
b-
20
3
，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
解答： 解：（1）設(shè)H（x，y），E（m，n），
BE
=（m+2，n），
HE
=（m-x，n-y），
∵
BE
=3
HE
，
∴
m+2=3(m-x)
n=3(n-y)
，解得
m=1+
3
2
x
n=
3
2
y
．
又
BH
=（x+2，y），
CE
=(
3
2
x-5，
3
2
y)，BE⊥AC，
∴
BH
•
CE
=(x+2)(
3
2
x-5)+y•
3
2
y=0，化為3x2+3y2-4x-20=0．
∵
BE
=3
HE
，H是△ABC的垂心，∴H不可能落在x軸上，
∴點(diǎn)H的軌跡方程是3x2+3y2-4x-20=0．（y≠0）．
（2）設(shè)l的方程為：y=x+b，M（x1，y1），N（x2，y2），
則
OM
•
ON
=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+b）（x2+b）=2x1x2+b(x1+x2)+b2，
聯(lián)立
y=x+b
3x2+3y2-4x-20=0
，化為6x2+2（3b-2）x+3b2-20=0，
由△=4（3b-2）2-24（3b2-20）＞0，解得
-2-8
2
3
＜b＜
-2+8
2
3
，
又x1+x2=
2-3b
3
，x1x2=
3b2-20
6
，
∴
OM
•
ON
=b2+
2
3
b-
20
3
=(b+
1
3
)2-
61
9
，
∴當(dāng)b+
1
3
=0時(shí)，即b=-
1
3
時(shí)，
OM
•
ON
取得最小值-
61
9
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、點(diǎn)的軌跡方程、直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AC=4，延長(zhǎng)CB至D，使CB=BD．
（1）求證：直線(xiàn)C1B∥平面AB1D；
（2）求平面AB1D與平面ACB所成銳角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是棱CC1的中點(diǎn)，設(shè)CP=m（0＜m＜1）．
（Ⅰ）試確定m的值，使直線(xiàn)AP與平面BDD1B1所成角的正切值3
2
；
（Ⅱ）在線(xiàn)段A1C1上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）求三棱錐D-APD1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)于n∈N*，總有an，
2Sn
，an+1成等比數(shù)列，a1=1．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)任意給定的正整數(shù)m（m≥2），作數(shù)列{bn}，使b1=a1，且
bn+1
bn
=
m-n
an+1
（n=1，2，…，m-1），求b1+b2+…+bm；
（3）設(shè)數(shù)列{
1
an
}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：
1
2
≤T2n-Tn＜
3
4
（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，M為BD1的中點(diǎn)，N在A1C1上，且滿(mǎn)足|A1N|=3|NC1|．
（1）求MN的長(zhǎng)；
（2）試判斷△MNC的形狀．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，點(diǎn)（n，
Sn
n
）在直線(xiàn)y=
1
2
x上，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足
b1-1
2
+
b2-1
22
+…+
bn-1
2n
=an（n∈N）
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)P（P≠-1），使數(shù)列{
Tn-n+1
2(2n+P)
}為等比數(shù)列，若存在，求出P的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-x2-x+a（x∈R），其中a為實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線(xiàn)方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

正四面體ABCD棱長(zhǎng)為2，E、F分別為BC、AD中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）過(guò)點(diǎn)A（8，-8），則點(diǎn)A與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的距離是
 
．

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