Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}-a，x＜1}\\{1-\frac{1}{x}，x≥1}\end{array}\right.$，當(dāng)a=0時，f（x）的值域為[0，+∞）；若f（x）恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是a＞$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由分段函數(shù)可得，分段函數(shù)值域，從而得到函數(shù)的值域；再由分段函數(shù)分別確定方程的根的個數(shù)即可．

解答 解：當(dāng)a=0時，x＜1時，
f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}$＞$\frac{1}{2}$；
當(dāng)x≥1時，0≤1-$\frac{1}{x}$＜1；
故f（x）的值域為[0，+∞）；
解：當(dāng)x≥1時，f（x）有一個零點x=1，
故當(dāng)x＜1時，f（x）還有一個零點，
即$（\frac{1}{2}）^{x}$-a=0有解，
∵$（\frac{1}{2}）^{x}$＞$\frac{1}{2}$，
∴a＞$\frac{1}{2}$；
故實數(shù)a的取值范圍是a＞$\frac{1}{2}$．
故答案為：[0，+∞），a＞$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)的零點的求法及應(yīng)用．