Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-4x+4
（1）若g（x）=f（x）-cx為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)c的值；
（2）若h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，用定義證明函數(shù)h（x）在區(qū)間[2，+∞）上是遞增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）若g（x）=f（x）-cx為偶函數(shù)，則g（-x）=g（x）恒成立，可得實(shí)數(shù)c的值；
（2）任取2≤x₁＜x₂，分析h（x₂）與h（x₁）的大小，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性的定義，可得答案．

解答 解：（1）∵g（x）=f（x）-cx=x²-（4+c）x+4為偶函數(shù)，
∴g（-x）=g（x）恒成立，
即（-x）²-（4+c）（-x）+4=x²-（4+c）x+4，
∴c=-4；
（2）h（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$x+\frac{4}{x}-4$，
設(shè)2≤x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，x₁•x₂＞4，即x₁•x₂-4＞0，
∴h（x₂）-h（x₁）=（${x}_{2}+\frac{4}{{x}_{2}}-4$）-（${x}_{1}+\frac{4}{{x}_{1}}-4$）=（x₂-x₁）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴h（x₂）＞h（x₁），
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間[2，+∞）上是遞增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性，難度中檔．