Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1=（k+1）S_n+2，又a₁=2，a₂=1．
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n+1=（k+1）S_n+2，先求出a₁+a₂=（k+1）a₁+2，再由a₁=2，a₂=1，能求出k的值．
（2）由（1）知Sn+1=

1

2

Sn+2，由此能求出an+1=

1

2

an(n≥2)，從而能證明數(shù)列{a_n}是的等比數(shù)列．

解答： 解：（1）∵S_n+1=（k+1）S_n+2，
∴S₂=（k+1）S₁+2，
∴a₁+a₂=（k+1）a₁+2．…（3分）
又∵a₁=2，a₂=1，
∴2+1=2（k+1）+2，
∴k=-

1

2

．…（6分）
（2）證明：由（1）知Sn+1=

1

2

Sn+2①
當(dāng)n≥2時，Sn=

1

2

Sn-1+2②
①-②得an+1=

1

2

an(n≥2)．…（9分）
又∵a2=

1

2

a1，且a_n≠0（n∈N^*），
∴

an+1

an

=

1

2

(n∈N*)，
∴數(shù)列{a_n}是公比為

1

2

的等比數(shù)列．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，是中檔題．