Question

設a＞0，a≠1，函數(shù)y=a^{lg（x2-2x+3）}有最大值，求函數(shù)f（x）=log_a（3-2x-x²）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：復合函數(shù)的單調性

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由題意可得0＜a＜1，令u=3-2x-x²，x∈（-3，1），則y=log_au，通過求函數(shù)u的單調區(qū)間，從而求得函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

解答： 解：設t=lg（x²-2x+3）=lg[（x-1）²+2]，當x=1時，t有最小值lg2．
又因為函數(shù)y=a^{lg（x2-2x+3）}有最大值，所以，0＜a＜1．
由3-2x-x²＞0，求得f（x）=log_a（3-2x-x²）的定義域為{x|-3＜x＜1}，
令u=3-2x-x²，x∈（-3，1），則y=log_au．
因為y=log_au在定義域內是減函數(shù)，當x∈（-3，-1]時，u=-（x+1）²+4是增函數(shù)，
所以f（x）在（-3，-1]上是減函數(shù)．同理，f（x）在[-1，1）上是增函數(shù)．
故f（x）的單調減區(qū)間為（-3，-1]，單調增區(qū)間為[-1，1）．

點評：本題主要考查復合函數(shù)的單調性，二次函數(shù)的性質，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．