Question

已知函數(shù)f(x)=loga(ax-

x

)(a＞0，a≠1)
（1）求函數(shù)f（x）的定義域
（2）若a=2，求f（x）在區(qū)間[1，4]上的最值；
（3）討論f（x）在定義域上的單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由真數(shù)ax-

x

＞0，可得得

x

(a

x

-1)＞0，結合已知由不等式的性質(zhì)可得x＞

1

a2

，可得定義域；
（2）把a=2代入，令t=2x-

x

，可判t在x∈[1，4]上單調(diào)遞增，由復合函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）在[1，4]上單調(diào)遞增，由此可得最值；
（3）設x1，x2∈(

1

a2

，+∞)，且x₁＜x₂作差變形可判ax1-

x1

＜ax2-

x2

，分0＜a＜1，a＞1結合復合函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答： 解：（1）由ax-

x

＞0，得

x

(a

x

-1)＞0
∵a＞0，

x

＞0，∴a

x

-1＞0，∴

x

＞

1

a

，∴x＞

1

a2

∴函數(shù)定義域為{x|x＞

1

a2

，a＞0，a≠1}；
（2）若a=2，則f(x)=log2(2x-

x

)，x∈(

1

4

，+∞)
令t=2x-

x

，求導數(shù)可得t′=2-

1

2 x

＞0，x∈[1，4]
可得函數(shù)t=2x-

x

在x∈[1，4]上單調(diào)遞增，
由復合函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）在[1，4]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=log₂（2-1）=0，
f(x)max=f(4)=log2(8-

4

)=log26；
（3）設x1，x2∈(

1

a2

，+∞)，且x₁＜x₂
則(ax1-

x1

)-(ax2-

x2

)=a(x1-x2)-(

x1

-

x2

)=(

x1

-

x2

)[a(

x1

+

x2

)-1]
∵x2＞x1＞

1

a2

，∴

x2

＞

x1

＞

1

a

，∴a(

x1

+

x2

)＞a•

2

a

=2，
∴(

x1

-

x2

)[a(

x1

+

x2

)]＜0，
∴ax1-

x1

＜ax2-

x2

若0＜a＜1，則loga(ax1-

x1

)＞loga(ax2-

x2

)，可得f（x）為減函數(shù)，
若a＞1，則loga(ax1-

x1

)＜loga(ax2-

x2

)，可得f（x）為增函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，涉及函數(shù)定義域和最值的求解以及分類討論的思想，屬中檔題．