Question

已知點(diǎn)A（-1，1）和圓C：x²+y²-6x-8y+24=0，一束光線從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)直線L：x-y-1=0反射后與圓相切，試求反射線所在直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：設(shè)反射線與圓相切的切點(diǎn)為B，求出點(diǎn)A關(guān)于x-y-1=0對(duì)稱的點(diǎn)為A'的坐標(biāo)，由題意可知反射線即為直線A'B．因此設(shè)直線A'B方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于k的方程并解出k的值，即可得到所求反射線所在的直線方程．

解答： 解：點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于x-y-1=0對(duì)稱的點(diǎn)為A'（a，b），
∴

b-1 a+1 =-1 a-1 2 - b+1 2 -1=0

，解得：

a=2 b=-2

，∴A′（2，2）．
設(shè)反射線與圓相切的切點(diǎn)為B，根據(jù)題意得反射線所在直線是A'B所在直線
設(shè)直線A'B方程為y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0
圓C：x²+y²-6x-8y+24=0，的圓心（3，4），半徑為r=1，
可得圓心（3，4）到直線的距離d=

|3k-4-2k+2|

k2+1

=1
解之得k=

3

4

，
由此可得直線A'B方程為

3

4

x-y-2×

3

4

+2=0即：3x-4y+2=0，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為：x=2，滿足題意，
即為所求反射線所在直線方程3x-4y+2=0或x=2．

點(diǎn)評(píng)：本題求滿足條件的直線與圓的方程．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．