Question

已知直線m：y=2x-16，拋物線C：y²=ax（a＞0）．
（1）當(dāng)拋物線C的焦點(diǎn)在直線m上時，確定拋物線C的方程；
（2）若△ABC的三個頂點(diǎn)都在（1）所確定的拋物線C上，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y=8，△ABC的重心恰在拋物線C的焦點(diǎn)上，求直線BC的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）把拋物線的焦點(diǎn)（

a

4

，0）代入y=2x-16可求；
（2）易求A的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式可得

xB+xC=22 yB+yC=-8

，再由平方差法可得直線BC斜率，由分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中線AF與BC交點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式可得所求直線方程；

解答： 解：（1）∵拋物線的焦點(diǎn)為（

a

4

，0），代入y=2x-16，得a=32．
∴拋物線方程為y²=32x．
（2）∵y_A=8，∴x_A=2．
∵F（8，0）為△ABC的重心，
∴

xA+xB+xC 3 =8 yA+yB+yC 3 =0

，則

xB+xC=22 yB+yC=-8

，
又

yB2=32xB yC2=32xC

，∴（y_B+y_C）（y_B-y_C）=32（x_B-x_C）⇒

yB-yC

xB-xC

=

32

yB+yC

=-4=k_BC，
又中線AF與BC交點(diǎn)坐標(biāo)x=

xA-3xF

1-3

=11，y=

yA-3yF

1-3

=

8-0

-2

=-4，
∴BC的直線方程為y+4=-4（x-11），即4x+y-40=0．

點(diǎn)評：該題考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力．涉及“弦中點(diǎn)”問題，可以考慮“平方差法”解決．