Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin²x-1，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且a=2，c=2

3

，f（

C

2

）=

1

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),兩角和與差的余弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：解三角形

分析：（1）先利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)周期公式求得函數(shù)的最小正周期．
（2）根據(jù)f（

C

2

）=

1

2

求得C，進(jìn)而根據(jù)正弦定理求得A，則B課得，最后判斷出三角形為直角三角形，則根據(jù)面積公式即可求得答案．

解答： 解：（1）f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin²x-1=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
∴T=

2π

2

=π．
（2）f（

C

2

）=sin（C-

π

6

）=

1

2

，
∴C-

π

6

=

π

6

或

5π

6

，
∴C=

π

3

或π（舍去），

a

sinA

=

c

sinC

，
∴sinA=

a

c

•sinC=

2

2 3

×

3

2

=

1

2

，
∵a＜c，
∴A＜C，
∴A=

π

6

．
∴B=π-A-C=

π

2

，
∴△ABC的面積為

1

2

ac=

1

2

×2×2

3

=2

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角和公式的應(yīng)用．考查了學(xué)生推理和計(jì)算能力．