Question

已知a，b是實(shí)數(shù)，x=1是函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+bx的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求a與b的關(guān)系；
（Ⅱ）對(duì)任意可取的實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，求證：2f（x）≤|3a-5|+3a+3．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)x=1是函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+bx的一個(gè)極值點(diǎn)，可得f′（1）=6-6（a+1）+b=0，△≠0，即可求a與b的關(guān)系；
（Ⅱ）記M為f（x）在x∈[0，2]上的最大值．分類討論，求出M，即可證明結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=2x³-3（a+1）x²+bx，
∴f′（x）=6x²-6（a+1）x+b，
∵x=1是函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+bx的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（1）=6-6（a+1）+b=0，△≠0，
∴b=6a，a≠1；
（Ⅱ）證明：f′（x）=6（x-a）（x-1），f（0）=0，f（2）=4，
記M為f（x）在x∈[0，2]上的最大值．
①a≤0時(shí)，M=f（2）=4，則有2f（x）≤2M=8=|3a-5|+3a+3；
②0＜a＜1時(shí)，M=max{f（a），f（2）}，而f（a）=a²（3-a）＜3a²＜4，M=f（2）=4，則有2f（x）≤2M=8=|3a-5|+3a+3；
③1＜a≤

5

3

時(shí)，M=max{f（1），f（2）}，而f（1）=3a-1≤4，M=f（2）=4，則有2f（x）≤2M=8=|3a-5|+3a+3；
④

5

3

＜a＜2時(shí)，M=max{f（1），f（2）}，而f（1）=3a-1＞4，M=3a-1，則有2f（x）≤2M=6a-2=|3a-5|+3a+3；
⑤a≥2時(shí)，M=f（1）=3a-1，則有2f（x）≤2M=6a-2=|3a-5|+3a+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有難度．