Question

設

m

=(2，1)，

n

=(sinθ，cosθ)，其中θ∈(0，

π

2

)為過點A（1，4）的直線l的傾斜角，若當

m

•

n

最大時，直線l恰好與圓（x+1）²+（y-2）²=r²（r＞0）相切，則r=

 

．

Answer 1

考點：數量積的坐標表達式,圓的切線方程

專題：平面向量及應用,直線與圓

分析：根據向量數量積公式和輔助角公式的出當

m

•

n

最大時θ的值，從而得到直線l的方程，再由圓心到直線的距離等于半徑列式運算即可．

解答： 解：∵

m

=(2，1)，

n

=(sinθ，cosθ)，
∴

m

•

n

=2sinθ+cosθ
=

5

sin(θ+μ)，其中tanμ=

1

2

．
∵θ∈(0，

π

2

)
∴當θ+μ=

π

2

時，

m

•

n

=2sinθ+cosθ有最大值．
此時tanμ=

1

2

，
即直線l的斜率為2
∴直線l的方程為y-4=2（x-1）
即，2x-y+2=0．
∵圓（x+1）²+（y-2）²=r²（r＞0）的圓心為（-1，2）
∴圓心到直線的距離d=

|-2-2+2|

5

=

2 5

5

，
∴r=

2 5

5

．

點評：本題主要考查了向量的數量積的坐標運算，三角恒等變換直線與圓的位置關系等知識的綜合應用，以及轉化與化歸的思想方法，屬于難題．