Question

已知：如圖，⊙A與y軸交于C、D兩點(diǎn)，圓心A的坐標(biāo)為（1，0），⊙A的半徑為

5

，過C作⊙A的切線交x軸于點(diǎn)B，
（1）求切線BC的解析式；
（2）若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)⊙A上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙A的切線與直線BC相交于點(diǎn)G，且∠CGP=120°，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．
（3）向左移動⊙A（圓心A始終保持在x軸上），與直線BC交于E、F，在移動過程中是否存在點(diǎn)A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)可求出BC的方程．
（2）過G作x軸的垂線，垂足為H，連結(jié)AG，先求出OH，即G點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后代入直線BC的方程，即可求出；
（3）假設(shè)存在，根據(jù)直線與圓相交的性質(zhì)解決．

解答： （1）由題意可知，圓的方程是（x-1）²+y²=5
將y=0代入圓的方程得
點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
∵k_AC=-2，
∴kBC=-

1

2

得出直線的解析式為y=

1

2

x+2；
（2）如圖：過G作x軸的垂線，垂足為H，連結(jié)AG，
設(shè)G（x₀，y₀），在Rt△ACG中，∠ACG=90°，AC=

5

，
求得CG=

15

3

，
又由OB=4，BC=

OB2+OC2

=2

5

，
由CO∥GH，
得

OH

BO

=

CG

BC

，
則OH=

2 3

3

，即x0=

2 3

3

．
又點(diǎn)G在直線BC上，
∴y0=

1

2

×

2 3

3

+2=

3 +6

3

，
∴G（

2 3

3

，

3 +6

3

）
（3）如圖：在移動過程中，存在點(diǎn)A，使△AEF為直角三角形．
理由：由題意得△AEF是等腰三角形，
∴只能是∠EAF=90°，
∴△AEF是以EF為斜邊的等腰直角三角形．
過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，
則AM=

1

2

EF=

10

2

．
由△BAM≌△BCO得

BA

BC

=

AM

OC

，
設(shè)A（a，0），則BA=a+4，BC=2

5

，OC=2，AM=

10

2

可得出a=

5 2 -8

2

，
∴A（

5 2 -8

2

，0）．
同理當(dāng)BA=-4-a，BC=2

5

，OC=2，
可得出a=-

5 2 +8

2

，∴A′（-

5 2 +8

2

，0）．
∴存在兩個(gè)點(diǎn)使△AEF為直角三角形．它的坐標(biāo)是A（

5 2 -8

2

，0），A′（-

5 2 +8

2

，0）．

點(diǎn)評：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，兩直線垂直的性質(zhì)，直角三角形勾股定理等知識的綜合應(yīng)用．