Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n（n-6），數(shù)列{b_n}滿足b₂=3，b_n+1=3b_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)的公式
（Ⅱ）記數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n＜2014時(shí)n的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，驗(yàn)證n=1，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)的公式；利用b_n+1=3b_n，可得{b_n}的通項(xiàng)的公式
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和為T_n，從而可求T_n＜2014時(shí)n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-7，
又a₁=S₁=-5=2×1-7，∴a_n=2n-7．
又b_n+1=3b_n，所以{b_n}是公比為3的等比數(shù)列，bn=3n-1．
（Ⅱ）T_n=（-5）•1+（-3）•3+…+（2n-7）•3^n-1①，
3T_n=（-5）•3+（-3）•3²+…+（2n-7）•3ⁿ②
①-②得，-2Tn=(-5)•1+2•3+2•32+…+2•3n-1-(2n-7)•3n
=-5+

6(1-3n-1)

1-3

-(2n-7)•3n=-8+3ⁿ-（2n-7）•3ⁿ=-8-（2n-8）•3ⁿ．
所以Tn=(n-4)•3n+4．
由Tn=(n-4)•3n+4＜2014得n≤6，
所以n的最大值為6．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查錯(cuò)位相減法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．