Question

已知定義在R上的函數(shù)滿足：①對任意0＜x＜1，都有f（x）＜0；②f（x）+f（y）=f（xy）對任意正實數(shù)x、y都成立．
（1）求證：x＞1時，f（x）＞0；
（2）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（3）如果f（4）=1，解不等式f（3x+1）+f（2x-6）＜3，求x取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）賦值法，設(shè)x=1，y=1，求得f（1）=0，再設(shè)x＞1，則0＜

1

x

＜1，令y=

1

x

，利用對任意0＜x＜1，都有f（x）＜0，得以證明；
（2）賦值法，設(shè)x=y且 x＞0，y＞0，求出f（x），利用定義證明即可．
（3）首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再列出不等式組，解得即可．

解答： （1）解：設(shè)x=1，y=1得：f（1×1）=f（1）+f（1），
即f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
再設(shè)x＞1，則0＜

1

x

＜1，令y=

1

x

，
∴f（x）+f（

1

x

）=f（1）
∴f（x）=-f（

1

x

），
∵f（

1

x

）＜0，
∴f（x）＞0．
（2）證明：設(shè)x=y且 x＞0，y＞0，
則f（x）=

f(x2)

2

，
當(dāng)x＜0 時，-x＞0，
∴f（-x）=

f(x2)

2

=f（x）
∴f（x）為偶函數(shù)．
（3）解∵對x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，有x₂x₁＞0
∴f（x₂）+f（x₁）=f（x₂x₁）
∴f（x₂）-f（x₂x₁）=f（x₁）＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）＞0
∴f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，
同理f（x）在（-∞，1）為減函數(shù)，
∵3=1+1+1=f（4）+f（4）+f（4）=f（16）+f（4）=f（64），
∴f（3x+1）+f（2x-6）＜3=f（64）
∴

(3x+1)(2x-6)＜64 3x+1≥1 2x-6≥1

解得

7

2

≤x＜5
同理f（x）在（-∞，1）為減函數(shù)，
∴

(3 x+1)(2x-6)＞64 3x+1＜1 2x-6＜1

解得，x＜-

7

3

，
綜上所述：x取值范圍（-∞，-

7

3

）∪[

7

2

，5）

點評：本題考查求抽象函數(shù)的函數(shù)值常用的方法是賦值法、判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性常用的方法是函數(shù)單調(diào)性的定義，以及利用單調(diào)性構(gòu)造不等式，屬于難題．