Question

已知集合A={x|（x-1）（x-2a-3）＜0}，函數(shù)y=lg

x-(a2+2)

2a-x

的定義域?yàn)榧�合B．
（1）若a=1，求集合A∩∁_RB
（2）已知a＞-1且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：（1）求解集合A．B根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論．
（2）求出集合A，B，根據(jù)充分條件和必要條件的關(guān)系即可得到結(jié)論

解答： 解：（1）若a=1，則A={x|（x-1）（x-5）＜0}={x|1＜x＜5}，
函數(shù)y=lg

x-(a2+2)

2a-x

=lg

x-3

2-x

，由

x-3

2-x

＞0，解得2＜x＜3，即B=（2，3），
則∁_RB={x|x≤2或x≥3}，
則A∩∁_RB={x|1＜x≤2或3≤x＜5}，
（2）方程（x-1）（x-2a-3）=0的根為x=1或x=2a+3，
若a＞-1，則2a+3＞1，即A={x|（x-1）（x-2a-3）＜0}={x|1＜x＜2a+3}
由g

x-(a2+2)

2a-x

＞0得（x-2a）[x-（a²+2）]＜0，
∵a²+2-2a=（a-1）²+1＞0，
∴a²+2＞2a
∴（x-2a）[x-（a²+2）]＜0的解為2a＜x＜a²+2，即B={x|2a＜x＜a²+2}
若x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件
則B?A，
即

2a≥1 a2+2≤2a+3

且等號(hào)不能同時(shí)取，
即

a≥ 1 2 a2-2a-1≤0

，則

a≥ 1 2 1- 2 ≤a≤1+ 2

，
即

1

2

≤a≤1+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，求出對(duì)應(yīng)的集合是解決本題的關(guān)鍵．