Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，若a₁=1，S_n是數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和，則

2Sn+16

an+3

（n∈N⁺）的最小值為（　　）

• A、4
• B、3
• C、2

  3

  -2
• D、

  9

  2

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意得（1+2d）²=1+12d，求出公差d的值，得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和，從而可得

2Sn+16

an+3

，換元，利用基本不等式，即可求出函數(shù)的最小值．

解答： 解：∵a₁=1，a₁、a₃、a₁₃ 成等比數(shù)列，
∴（1+2d）²=1+12d．
得d=2或d=0（舍去），
∴a_n =2n-1，
∴S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²，
∴

2Sn+16

an+3

=

2n2+16

2n+2

．
令t=n+1，則

2Sn+16

an+3

=t+

9

t

-2≥6-2=4
當(dāng)且僅當(dāng)t=3，即n=2時(shí)，∴

2Sn+16

an+3

的最小值為4．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查基本不等式，屬于中檔題．