Question

敘述橢圓的定義，并推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先敘述橢圓的定義，再由已知條件恰當(dāng)?shù)亟�立平面直角坐�?biāo)系，利用兩點(diǎn)間距離公式能推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂距離之和為定值（定值大于兩定點(diǎn)的距離）的點(diǎn)的集合（或軌跡）為橢圓．F₁，F(xiàn)₂稱為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．…（3分）
設(shè)|F₁F₂|=2c（c＞0），定值為2a，（a＞0），a＞c＞0，
取F₁F₂所在的直線為x軸，線段F₁F₂的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，
建立直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），
則F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）…（5分）
由已知條件有|MF₁|+|MF₂|=2a，
將坐標(biāo)代入有

(x+c)2+y2

+

(x-c)2+y2

=2a，…（7分）
化簡(jiǎn)整理得：

x2

a2

+

y2

a2-c2

=1，
∵a＞c＞0，∴令a²-c²=b²，（b＞0）
∴

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），…10分
∴焦點(diǎn)在x軸的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
如果取F₁F₂所在的直線為y軸，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓定義的敘述，考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．