Question

14．已知M是橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的焦點，且∠F₁MF₂=$\frac{π}{2}$，求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

分析 由橢圓的定義可得，|MF₁|+|MF₂|=2a=2$\sqrt{5}$，結(jié)合MF₁⊥MF₂，利用勾股定理可得，|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²=4，配方再由三角形的面積S=$\frac{1}{2}$|MF₁|•|MF₂|，從而可求答案．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1，
由橢圓的定義可得，|MF₁|+|MF₂|=2a=2$\sqrt{5}$，
∵∠F₁MF₂=$\frac{π}{2}$，
∴MF₁⊥MF₂，
在Rt△MF₁F₂中，由勾股定理可得，
|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²=4，
即（|MF₁|+|MF₂|）²-2|MF₁|•|MF₂|=4，
∴|MF₁|•|MF₂|=8，
則三角形的面積S=$\frac{1}{2}$|MF₁|•|MF₂|=$\frac{1}{2}$×8=4．

點評 本題主要考查了橢圓的定義的簡單應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對已知平方式的變形（|MF₁|+|MF₂|）²-2|MF₁|•|MF₂|=4，求得|MF₁|•|MF₂|=8，利用整體思想求解三角形的面積．