Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²+2x•tanθ-1，x∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
（1）當(dāng)θ=-$\frac{π}{6}$時(shí)，求f（x）的最大值和最小值．
（2）求使f（x）在區(qū)間[-1，$\sqrt{3}$]上是單調(diào)函數(shù)的θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)θ=-$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-1的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$為對(duì)稱軸的拋物線，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的最值；
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，$\sqrt{3}$]上是單調(diào)函數(shù)，則-tanθ≤-1，或-tanθ≥$\sqrt{3}$，結(jié)合正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得θ的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)θ=-$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-1的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$為對(duì)稱軸的拋物線，
∵x∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
∴當(dāng)x=-$\sqrt{3}$時(shí)，函數(shù)取最大值4，當(dāng)x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，函數(shù)取最小值-$\frac{4}{3}$；
（2）函數(shù)f（x）=x²+2x•tanθ-1的圖象是開口朝上，且以直線x=-tanθ為對(duì)稱軸的拋物線，
若f（x）在區(qū)間[-1，$\sqrt{3}$]上是單調(diào)函數(shù)，
則-tanθ≤-1，或-tanθ≥$\sqrt{3}$，
即tanθ≥1，或tanθ≤-$\sqrt{3}$，
∴θ∈（kπ-$\frac{π}{2}$，kπ-$\frac{π}{3}$]∪[kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{2}$），k∈Z

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．