Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥底面ABCD．ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD=2．DD₁=3，E，F(xiàn)分別是AB與D₁E的中點(diǎn)．
（1）求證：CE⊥DF； 
（2）求二面角A-EF-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明CE⊥平面DD₁E，即可證明CE⊥DF； 
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AEF的一個(gè)法向量、平面CEF的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A-EF-C的平面角的余弦值．

解答： （1）證明：∵AD=AE，∠DAB=60°，∴△ADE為正△．
在△CDE中，由余弦定理可求CE=

3

，
又(

3

)2+12=22，
由勾股定理逆定理知CE⊥DE，
又DD₁⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，∴CE⊥DD₁
∴CE⊥平面DD₁E，
又DF?平面DD₁E，∴CE⊥DF．
（2）解：以直線AB，AA₁分別為x軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由題設(shè)A（0，0，0），E（1，0，0），D₁（

1

2

，

3

2

，3），C(

5

2

，

3

2

，0)
可求平面AEF的一個(gè)法向量為

m

=(0，-2

3

，1)，
平面CEF的一個(gè)法向量為

n

=(3，-3

3

，2)
∴平面角θ滿足|cosθ|=

| m  • n  |

| m  || n  |

=

130

13

又θ為鈍角，∴cosθ =-

130

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直、線線垂直、考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定，正確求出平面的法向量，屬于中檔題．