Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（-

2

，1），長軸長為2

5

，過點C（-1，0）且斜率為k的直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若線段AB中點的橫坐標是-

1

2

，求直線l的斜率．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用橢圓長軸長為2

5

，求出a，利用橢圓過點（-

2

，1），代入橢圓方程，求出b，即可得出橢圓的方程；
（2）設直線方程為y=k（x+1）代入橢圓方程，可得（3k²+1）x²+6k²x+6k²x+3k²-5=0，利用線段AB中點的橫坐標是-

1

2

，結合韋達定理，即可求直線l的斜率．

解答： 解：（1）∵橢圓長軸長為2

5

，∴a=

5

，
又∵橢圓過點（-

2

，1），代入橢圓方程得b²=

5

3

，
∴橢圓方程為

x2

5

+

y2

5 3

=1
即x²+3y²=5…..（5分）
（2）∵直線過點C（-1，0）且斜率為k，
設直線方程為y=k（x+1）
代入橢圓方程，可得（3k²+1）x²+6k²x+6k²x+3k²-5=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵線段AB中點的橫坐標是-

1

2

，
∴x₁+x₂=

-6k2

3k2+1

=-1，
∴k=±

3

3

．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．