Question

【題目】已知平面內(nèi)一動點(diǎn)與兩定點(diǎn)和連線的斜率之積等于.

（Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線： （）與軌跡交于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，當(dāng)變化時，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)列式，即可求橢圓E的方程；

（2）首先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將直線y=x+m代入橢圓方程根據(jù)韋達(dá)定理與判別式求出x1+x2、x1x2和m2的范圍，進(jìn)而求出|AB|，設(shè)AB中點(diǎn)，求出和的坐標(biāo)即可得到到的距離，可得，可求出三角形面積的最大值.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)的坐標(biāo)為，

依題意得，

化簡得軌跡的方程為（）.

（Ⅱ）設(shè)， ，

聯(lián)立方程組化簡得： ,

有兩個不同的交點(diǎn)，

由根與系數(shù)的關(guān)系得， ，

，即且.

設(shè)、中點(diǎn)為， 點(diǎn)橫坐標(biāo)， ，

，

線段的垂直平分線方程為.

點(diǎn)坐標(biāo)為.

到的距離，

由弦長公式得 ，

，

當(dāng)且僅當(dāng)即 時等號成立，

.

點(diǎn)晴:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系. 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一方面要體現(xiàn)方程思想，另一方面要結(jié)合已知條件，從圖形角度求解．聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個常用的方法. 涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長；涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．