【題目】已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線的斜率之積等于.

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;

(Ⅱ)設(shè)直線 )與軌跡交于兩點(diǎn),線段的垂直平分線交軸于點(diǎn),當(dāng)變化時(shí),求面積的最大值.

【答案】(Ⅰ));(Ⅱ).

【解析】試題分析:(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)列式,即可求橢圓E的方程;

2)首先設(shè)Ax1,y1),Bx2,y2),將直線y=x+m代入橢圓方程根據(jù)韋達(dá)定理與判別式求出x1+x2、x1x2m2的范圍,進(jìn)而求出|AB|,設(shè)AB中點(diǎn),求出的坐標(biāo)即可得到的距離,可得,可求出三角形面積的最大值.

試題解析:(Ⅰ)設(shè)的坐標(biāo)為

依題意得,

化簡(jiǎn)得軌跡的方程為).

(Ⅱ)設(shè)

聯(lián)立方程組化簡(jiǎn)得: ,

有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

由根與系數(shù)的關(guān)系得 ,

,即.

設(shè)、中點(diǎn)為, 點(diǎn)橫坐標(biāo),

,

線段的垂直平分線方程為.

點(diǎn)坐標(biāo)為.

的距離,

由弦長(zhǎng)公式得 ,

,

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立,

.

點(diǎn)晴:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系. 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一方面要體現(xiàn)方程思想,另一方面要結(jié)合已知條件,從圖形角度求解.聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個(gè)常用的方法. 涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中,應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長(zhǎng);涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算;涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題,可考慮用圓錐曲線的定義求解.

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