Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

4

，a_n=

an-1

(-1)n•an-1-2

（n≥2，n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

+（-1）ⁿ}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b_n=a_n•sin

(2n-17)π

2

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：對任意n∈N^*，有T_n＜

4

7

成立．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=

an-1

(-1)n•an-1-2

，兩邊取倒數(shù)，并整理，即可證得數(shù)列{

1

an

+（-1）ⁿ}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先確定數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再進(jìn)行放縮，利用等比數(shù)列的求和公式，即可證得結(jié)論．

解答： 證明：（1）∵a_n=

an-1

(-1)n•an-1-2

，
∴

1

an

+（-1）ⁿ=（-2）[

1

an-1

+（-1）^n-1]
又

1

a1

+（-1）=3，
∴數(shù)列{

1

an

+（-1）ⁿ}是首項(xiàng)為3，公比為-2的等比數(shù)列．…4′
從而

1

an

+（-1）ⁿ=3•（-2）^n-1，
∴a_n=

1

3•(-2)n-1-(-1)n

…6′
（2）b_n=a_n•sin

(2n-17)π

2

=

1

3•2n-1+1

…8′
當(dāng)n≥3時(shí)，則T_n=

1

1+3

+

1

3•2+1

+…+

1

3•2n-1+1

＜

1

4

+

1

7

+

1

3•22

+…+

1

3•2n-1

=

11

28

+

1 12 [1-( 1 2 )n-2]

1- 1 2

=

11

28

+

1

6

[1-(

1

2

)n-2]＜

11

28

+

1

6

＜

4

7

．
∵T₂＜T₃＜

4

7

，
∴對任意n∈N^*，有T_n＜

4

7

成立． …14′

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，正確證明數(shù)列是等比數(shù)列是關(guān)鍵．