Question

①非零向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，則

a

與

a

+

b

的夾角為30°；
②“

a

•

b

＞0”是“

a

，

b

的夾角為銳角”的充要條件；
③將函數(shù)y=|x+1|的圖象按向量

a

=（-1，0）平移，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=|x|；
④在△ABC中，若（

AB

+

AC

）•（

AB

-

AC

）=0，則△ABC為等腰三角形．
其中正確的命題是

 

．（注：把你認為正確的命題的序號都填上）

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：①非零向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，設(shè)

OA

=

a

，

OB

=

b

，則△OAB是等邊三角形，即可得出

a

與

a

+

b

的夾角為30°；
②“

a

，

b

的夾角為銳角”⇒“

a

•

b

＞0”，反之不成立，因為當

a

與

b

同向共線時也滿足

a

•

b

＞0；
③設(shè)P（x，y）為平移后的圖象上的任意一點，則平移前對應(yīng)的點P′（x+1，y）在原函數(shù)y=|x+1|的圖象上，可得y=|x+2|；
④在△ABC中，設(shè)D是邊BC的中點，則

AB

+

AC

=2

AD

，由（

AB

+

AC

）•（

AB

-

AC

）=0，可得2

AD

⊥

CB

，于是AD⊥BC且平分BC，即△ABC為等腰三角形，

解答： 解：①非零向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，設(shè)

OA

=

a

，

OB

=

b

，則△OAB是等邊三角形，因此

a

與

a

+

b

的夾角為30°，正確；
②“

a

，

b

的夾角為銳角”⇒“

a

•

b

＞0”，反之不成立，因為當

a

與

b

同向共線時也滿足

a

•

b

＞0，∴“

a

•

b

＞0”是“

a

，

b

的夾角為銳角”的必要非充分條件，因此不正確；
③設(shè)P（x，y）為平移后的圖象上的任意一點，則平移前對應(yīng)的點P′（x+1，y）在元函數(shù)y=|x+1|的圖象上，∴y=|x+2|，因此③不正確
④在△ABC中，設(shè)D是邊BC的中點，則

AB

+

AC

=2

AD

，又（

AB

+

AC

）•（

AB

-

AC

）=0，∴2

AD

⊥

CB

，∴AD⊥BC且平分BC，因此△ABC為等腰三角形，正確．
綜上可得：只有①④正確．
故答案為：①④．

點評：本題考查了向量的平行四邊形法則、等邊三角形的性質(zhì)、向量夾角公式、圖象的平移、等腰三角形的性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．