Question

11．已知函數(shù)f（x）=lg（100^x+1）-ax，x∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下證明，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

分析 （I）由于函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），解出即可．
（II）由幾何畫板畫出x≥0時函數(shù)f（x）=lg（100^x+1）-x的圖象，函數(shù)f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)．任意取0≤x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=$lg\frac{10{0}^{{x}_{2}}+1}{10{0}^{{x}_{1}}+1}$+（x₁-x₂），由于$\frac{10{0}^{{x}_{2}}+1}{10{0}^{{x}_{1}}+1}$＞$\frac{1{0}^{{x}_{2}}}{1{0}^{{x}_{1}}}$，可得$lg\frac{10{0}^{{x}_{2}}+1}{10{0}^{{x}_{1}}+1}$＞lg$\frac{1{0}^{{x}_{2}}}{1{0}^{{x}_{1}}}$=x₂-x₁，代入即可證明．0，

解答 （I）解：∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
∴l(xiāng)g（100^-x+1）+ax=lg（100^x+1）-ax，
化為：2（a-1）x=0，對于?x∈R恒成立，
∴a=1．
解得驗證滿足條件．
∴a=1．
（II）證明：由幾何畫板畫出x≥0時函數(shù)f（x）=lg（100^x+1）-x的圖象，函數(shù)f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)．
?0≤x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=$[lg（10{0}^{{x}_{2}}+1）-{x}_{2}]$-[$lg（10{0}^{{x}_{1}}+1）$-x₁]=$lg\frac{10{0}^{{x}_{2}}+1}{10{0}^{{x}_{1}}+1}$+（x₁-x₂），
∵$\frac{10{0}^{{x}_{2}}+1}{10{0}^{{x}_{1}}+1}$＞$\frac{1{0}^{{x}_{2}}}{1{0}^{{x}_{1}}}$，
∴$lg\frac{10{0}^{{x}_{2}}+1}{10{0}^{{x}_{1}}+1}$＞lg$\frac{1{0}^{{x}_{2}}}{1{0}^{{x}_{1}}}$=x₂-x₁，
∴f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁+（x₁-x₂）=0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、不等式的性質(zhì)、“放縮法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．