Question

3．某商店預(yù)備在一個(gè)月內(nèi)分批購(gòu)入每張價(jià)值為20元的書(shū)桌共36臺(tái)，每批都購(gòu)入x臺(tái)（x是正整數(shù)），且每批均需付運(yùn)費(fèi)4元，儲(chǔ)存購(gòu)入的書(shū)桌一個(gè)月所付的保管費(fèi)與每批購(gòu)入書(shū)桌的總價(jià)值（不含運(yùn)費(fèi)）成正比，若每批購(gòu)入4臺(tái)，則該月需用去運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)共52元，現(xiàn)在全月只有48元資金可以用于支付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)．
（1）求該月需用去的運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)的總費(fèi)用f（x）；
（2）能否恰當(dāng)?shù)匕才琶颗�進(jìn)貨的數(shù)量，使資金夠用？寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．
（3）要使該月用于支付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)的資金費(fèi)用最少，每批進(jìn)貨的數(shù)量應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 （1）不妨設(shè)題中比例系數(shù)為k，每批購(gòu)入x 臺(tái)，共需分$\frac{36}{x}$批，每批價(jià)值為20x 元，總費(fèi)用f（x）=運(yùn)費(fèi)+保管費(fèi)；由x=4，y=52可得k，從而得f（x）；
（2）每批進(jìn)貨的數(shù)量控制在4≤x≤9，資金才夠用．令$\frac{144}{x}$+4x≤52，解不等式即可得到；
（3）由（1）的解析式，由基本不等式可求得當(dāng)x為何值時(shí)，f（x）的最小值．

解答 解：（1）設(shè)題中比例系數(shù)為k，若每批購(gòu)入x 臺(tái)，則共需分$\frac{36}{x}$批，
每批價(jià)值為20x 元，
由題意，得：f（x）=$\frac{36}{x}$•4+k•20x，
由x=4時(shí)，y=52，得：k=$\frac{1}{5}$，
即有f（x）=$\frac{144}{x}$+4x（0＜x≤36，x∈N）；
（2）每批進(jìn)貨的數(shù)量控制在4≤x≤9，資金才夠用．
理由如下：令$\frac{144}{x}$+4x≤52，化簡(jiǎn)為（x-4）（x-9）≤0，
解得4≤x≤9；
（3）由（1）知，f（x）=$\frac{144}{x}$+4x（0＜x≤36，x∈N），
則f（x）≥2$\sqrt{\frac{144}{x}•4x}$=48，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{144}{x}$=4x，即x=6時(shí)，上式等號(hào)成立；
故只需每批購(gòu)入6張書(shū)桌，
可以使該月用于支付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)的資金費(fèi)用最少．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的運(yùn)用，考查不等式的解法和基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0）的應(yīng)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．