Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且過點（0，1）．
（1）求橢圓C的方程．
（2）過點A作互相垂直的直線分別交橢圓C于M、N．
①若P是橢圓C上任意一點，P到直線AM與AN的距離分別為d₁、d₂．求d₁²+d₂²的最大值；
②試問：直線MM是否過定點，若是，求出定點坐標(biāo)；否則，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，b=1，可得a，則橢圓C的方程可求；
（2）①設(shè)P（x₀，y₀）（0≤|y₀|≤1），由直線AM⊥AN，可得d₁²+d₂²=PA²=x₀²+（y₀-1）²，再由點P在橢圓上轉(zhuǎn)化為y₀的函數(shù)，再利用配方法求得d₁²+d₂²的最大值；
②由題意可知AM的斜率存在且不為0，設(shè)出直線AM的方程，和橢圓方程聯(lián)立求得M的坐標(biāo)，同理求出N的坐標(biāo)，寫出MN所在直線方程，可證得直線MM過定點（0，-$\frac{3}{5}$）．

解答 解：（1）∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，且b=1，得a=2，c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）①設(shè)P（x₀，y₀）（0≤|y₀|≤1），
∵AM⊥AN，則d₁²+d₂²=PA²=x₀²+（y₀-1）²，
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}=1$，
∴d₁²+d₂²=-3（y₀+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{16}{3}$，
∵-1≤y₀≤1，∴當(dāng)y₀=-$\frac{1}{3}$時，d₁²+d₂²取得最大值為$\frac{16}{3}$；
②直線MM過定點（0，-$\frac{3}{5}$）．事實上，
設(shè)直線AM的方程為y=kx+1（k≠0），
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kx=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁=$\frac{-8k}{4{k}^{2}+1}$，x₂=0，
∴x_M=$\frac{-8k}{4{k}^{2}+1}$，y_M=$\frac{1-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$．
用-$\frac{1}{k}$代替上面的k，可得x_N=$\frac{8k}{4+{k}^{2}}$，y_N=$\frac{{k}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$．
∴直線MN：y-$\frac{{k}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$=$\frac{{k}^{4}-1}{5{k}^{3}+5k}$（x-$\frac{8k}{4+{k}^{2}}$），
由x=0，得y=$\frac{{k}^{4}-1}{5{k}^{3}+5k}•（-\frac{8k}{4+{k}^{2}}）+\frac{{k}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$=$-\frac{3}{5}$．
∴直線PQ經(jīng)過定點（0，-$\frac{3}{5}$）．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和方程思想方法．考查了推理能力與計算能力，屬于難題．