Question

定點(diǎn)A（-1，-

3

）在定圓x²+y²=4上，且A對(duì)于動(dòng)弦BC的張角為30°，求△ABC面積最大值與此時(shí)B，C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出三角形面積最大的條件，然后根據(jù)角之間的關(guān)系，求出直線OB，OC的傾斜角，即可得到結(jié)論．

解答： 解：x²+y²=4，R=2，∠BAC=30°，B+C=150°
AB=2RsinC=4sinC，AC=4sinB
三角形ABC的面積
=

1

2

AB•AC•sin∠BAC
=

1

2

×4sinC•4sinB•sin30°
=4sinC•sinB
=-2[cos（B+C）-cos（B-C）]
=-2[cos150°-cos（B-C）]
=-2[-

3

2

-cos（B-C）]
=

3

+2cos（B-C）
∴當(dāng)∠B=∠C時(shí)，cos（B-C）=2，
∵∠BAC=30°，
∴∠B=∠C=75°，
此時(shí)三角形ABC的面積的最大值為2+

3

．
此時(shí)BC=2RsinA=4×

1

2

=2，
則∵A（-1，-

3

），
∴直線AO的效率k=

3

，即∠DOx=60°，
∵OB=OC=BC=2，
∴∠BOC=60°，∴∠DOC=30°
即∠COx=60°-30°=30°，
∴直線OC的傾斜角為30°，直線OB的傾斜角為60°+30°=90°，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2cos30°，2sin30°），即（

3

，1），
B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力．根據(jù)條件求出直線OB，OC的傾斜角是解決本題的關(guān)鍵．