Question

（1）已知不等式2x-1＞m（x²-1）對任意m∈[-2，2]恒成立，求x的取值范圍；
（2）是否存在m使得不等式2x-1＞m（x²-1）對任意x∈[-2，2]恒成立．若存在，試求出m的取值范圍；若不存在，試說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)思想,轉(zhuǎn)化思想

分析：（1）不等式對任意m恒成立，可把m看作變量，x為常數(shù)，構(gòu)造一次函數(shù)f（m），根據(jù)其單調(diào)性得到不等式組，再解出即可；
（2）先假設(shè)存在這樣的m，然后根據(jù)x為變量，m為常數(shù)，構(gòu)造函數(shù)f（x），對m=0，m＞0，m＜0討論，注意對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，以及端點(diǎn)的函數(shù)值的符號，列出不等式組，解出它們，最后求并集，從而加以判斷存在性．

解答： 解：（1）不等式2x-1＞m（x²-1）即2x-1-m（x²-1）＞0，
令f（m）=2x-1-m（x²-1）=（1-x²）m+2x-1，m∈[-2，2]，
要使原不等式對任意m∈[-2，2]恒成立，即f（m）＞0對m∈[-2，2]都成立，
所以

f(-2)＞0 f(2)＞0

即

2x2+2x-3＞0 2x2-2x-1＜0

即

x＞ -1+ 7 2 或x＜ -1- 7 2 1- 3 2 ＜x＜ 1+ 3 2

，
所以

7 -1

2

＜x＜

3 +1

2

，
即x的取值范圍是（

7 -1

2

，

3 +1

2

）．
（2）假設(shè)存在m使得不等式2x-1＞m（x²-1）對任意x∈[-2，2]恒成立，
令f（x）=2x-1-m（x²-1）=-mx²+2x+m-1，x∈[-2，2]，
要使原不等式對任意x∈[-2，2]恒成立，即f（x）＞0對x∈[-2，2]都成立，
當(dāng)m=0時，f（x）=2x-1，在-2≤x≤

1

2

時，f（x）≤0，在

1

2

＜x＜2時，f（x）＞0，
故不滿足題意，舍去；
當(dāng)m≠0時，f（x）只需滿足下式：

-m＞0，(m＜0) 1 m ≤-2 f(-2)＞0

或

-m＞0 -2＜ 1 m ＜2 4+4m(m-1)＜0

或

-m＜0，(m＞0) f(2)＞0 f(-2)＞0

，
即

m＜0 - 1 2 ≤m＜0 m＜- 5 3

或

m＜0 -2＜ 1 m ＜2 m∈∅

或

m＞0 m＜1 m＜- 5 3

，
解得結(jié)果為空集，故不存在m使得不等式2x-1＞m（x²-1）對任意x∈[-2，2]恒成立．

點(diǎn)評：本題主要考查轉(zhuǎn)化思想，即確定主元，同時考查構(gòu)造函數(shù)思想，應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)解決，解題時還應(yīng)對參數(shù)進(jìn)行討論，是一道很好的題目，屬于中檔題．