Question

7．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n=na_n-3n（n-1）（n∈N^*），且a₂=11．
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和S_n；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{a}_{n}+11}{{2}^{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知求出a₁=5，（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=6（n-1），由此能證明數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=5，公差為6的等差數(shù)列，從而能求出求其前n項(xiàng)和S_n．
（2）由數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{a}_{n}+11}{{2}^{n}}$=$\frac{6n+10}{{2}^{n}}$，利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和．

解答 （1）證明：∵S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n=na_n-3n（n-1）（n∈N^*），且a₂=11．
∴S₂=a₁+a₂=2a₂-3×2（2-1），
解得a₁=5，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）a_n-1-3（n-1）（n-2），
由a_n=S_n-S_n-1，
得a_n=na_n-3n（n-1）-（n-1）a_n-1-3（n-1）（n-2），
∴（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=6（n-1），
∴a_n-a_n-1=6，n≥2，n∈N^*，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=5，公差為6的等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+6（n-1）=6n-1，
∴${S}_{n}=\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=3n²+2n．
（2）解：∵數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{a}_{n}+11}{{2}^{n}}$=$\frac{6n+10}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和：
T_n=$16•\frac{1}{2}+22•\frac{1}{{2}^{2}}$+$28•\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{6n+10}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$16•\frac{1}{{2}^{2}}+22•\frac{1}{{2}^{3}}$+$28•\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{6n+10}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=8+6（$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$）-$\frac{6n+10}{{2}^{n+1}}$
=8+6×$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{3n+5}{{2}^{n}}$
=11-$\frac{3n+11}{{2}^{n}}$，
∴T_n=22-$\frac{6n+22}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的證明，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．