Question

若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1），且c_n=

an•bn

n

，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）分當(dāng)n=1和n≥2兩種情況，根據(jù)a_n=S_n-S_n-1（n≥2）可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）會(huì)根據(jù)遞推公式求出b_n的通項(xiàng)公式，并根據(jù)b_n與c_n關(guān)系求通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可知利用錯(cuò)位相消法進(jìn)行求和．

解答： 解：（1）由題意S_n=2ⁿ，
得S_n-1=2^n-1（n≥2），
兩式相減，得a_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2）．
當(dāng)n=1時(shí)，2^1-1=1≠S₁=a₁=2．
∴a_n=

2        (n=1) 2n-1 (n≥2)

；
（2）∵b_n+1=b_n+（2n-1），
∴b₂-b₁=1，
b₃-b₂=3，
b₄-b₃=5，
…
b_n-b_n-1=2n-3．
以上各式相加，得
b_n-b₁=1+3+5+…+（2n-3）=

(n-1)(1+2n-3)

2

=（n-1）²，
∵b₁=-1，∴b_n=n²-2n，
∴c_n=

-2               (n=1) (n-2)×2n-1(n≥2)

∴T_n=-2+0×2¹+1×2²+2×2³+…+（n-2）×2^n-1，①
∴2T_n=-4+0×2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-2）×2ⁿ，②
∴-T_n=2+2²+2³+…+2^n-1-（n-2）×2ⁿ
=

2(1-2n-1)

1-2

-（n-2）×2ⁿ
=2ⁿ-2-（n-2）×2ⁿ
=-2-（n-3）×2ⁿ，
∴數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和T_n=2+（n-3）×2ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列求和，能利用a_n與S_n之間的關(guān)系得到a_n的通項(xiàng)公式，會(huì)根據(jù)遞推公式求出b_n的通項(xiàng)公式，并根據(jù)b_n與c_n關(guān)系求c_n的通項(xiàng)公式，也要會(huì)應(yīng)用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和，屬于中檔題．