【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓的四個頂點構(gòu)成的四邊形面積為.

1)求橢圓的方程;

2)若是橢圓上的一點,過且斜率等于的直線與橢圓交于另一點,點關于原點的對稱點為.面積的最大值及取最大值時直線的方程.

【答案】(1);(2)取得最大值.此時直線的方程為

【解析】

1)利用已知條件求出,,即可得到橢圓方程.

2)設,,則,直線的斜率,利用點差法可得的關系,求出,設方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,列出韋達定理,表示出三角形的面積,即可計算面積最值.

解:(1)根據(jù)題意,橢圓的離心率為,則有,

以橢圓長、短軸四個端點為頂點的四邊形的面積為,則有,

,解得,.

故橢圓的方程為.

2)設,

,直線的斜率

,兩式相減,,

由直線,所以.

連結(jié),因為,關于原點對稱,所以,設方程為,

整理得:,,得.

,

.

所以當時,取得最大值.此時直線的方程為.

練習冊系列答案
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