【題目】設函數(shù),若,使得直線的斜率為0,則的最小值為( )
A. -8 B. C. -6 D. 2
【答案】C
【解析】函數(shù)f(x)=﹣x2﹣6x+m,
對稱軸x=﹣3,開口向下,
當x∈[﹣5,﹣2]的值域M:f(﹣5)≤M≤f(﹣3),即m+5≤M≤9+m.
函數(shù)g(x)=2x3+3x2﹣12x﹣m,
則g′(x)=6x2+6x﹣12.
令g′(x)=0,
可得:x=﹣2或1.
當x∈(﹣∞,﹣2)和(1,+∞)時,g′(x)>0,則g(x)是遞增函數(shù).
當x∈(﹣2,1)時,g′(x)<0,則g(x)是遞減函數(shù).
∵x∈[﹣1,2]
∴g(1)min=﹣7﹣m
g(﹣1)=13﹣m,g(2)=4﹣m.
∴g(x)值域N:﹣7﹣m≤N≤13﹣m.
由題意,MN
則,
解得:2≥m≥﹣6.
∴m的最小值為﹣6.
故選:C.
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【題目】如圖, 分別是橢圓的左、右焦點, 是橢圓的頂點, 是直線與橢圓的另一個交點, .
(1)求橢圓的離心率;
(2)已知的面積為,求的值.
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【題目】如圖,矩形中, , 為邊的中點,將沿直線翻轉成.若為線段的中點,則在翻折過程中:
①是定值;②點在某個球面上運動;
③存在某個位置,使;④存在某個位置,使平面.
其中正確的命題是_________.
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【題目】動點到定點的距離比它到直線的距離小1,設動點的軌跡為曲線,過點的直線交曲線于、兩個不同的點,過點、分別作曲線的切線,且二者相交于點.
(1)求曲線的方程;
(2)求證: ;
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【題目】已知圓過點,,且圓心在直線上,過點作直線與圓:交于兩點,.
(1)求圓的方程;
(2)當時,若于圓交于,且,求直線的方程;
(3)若點恰好是線段的中點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某高校在2010年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績,按成績分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示。
(1)求第3、4、5組的頻率;
(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學生,該校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取6名學生進入第二輪面試,求第3、4、5組每組各抽取多少學生進入第二輪面試?
(3)在(2)的前提下,學校決定在這6名學生中隨機抽取2名學生接受甲考官的面試,求第4組至少有一名學生被甲考官面試的概率。
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【題目】若曲線C上任意一點與直線上任意一點的距離都大于1,則稱曲線C遠離”直線,在下列曲線中,“遠離”直線:y=2x的曲線有___________(寫出所有符合條件的曲線的編號)
①曲線C:;②曲線C:;③曲線C:;
④曲線C:;⑤曲線C:.
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【題目】在推導很多三角恒等變換公式時,我們可以利用平面向量的有關知識來研究,在一定程度上可以簡化推理過程.如我們就可以利用平面向量來推導兩角差的余弦公式:
具體過程如下:
如圖,在平面直角坐標系內作單位圓O,以為始邊作角.它們的終邊與單位圓O的交點分別為A,B.
則
由向量數(shù)量積的坐標表示,有:
設的夾角為θ,則
另一方面,由圖3.1—3(1)可知,;由圖可知,
.于是.
所以,也有,
所以,對于任意角有:()
此公式給出了任意角的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關系,稱為差角的余弦公式,簡記作.
有了公式以后,我們只要知道的值,就可以求得的值了.
閱讀以上材料,利用下圖單位圓及相關數(shù)據(jù)(圖中M是AB的中點),采取類似方法(用其他方法解答正確同等給分)解決下列問題:
(1)判斷是否正確?(不需要證明)
(2)證明:
(3)利用以上結論求函數(shù)的單調區(qū)間.
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